|
Математическая магия подсчета кривых
|
|
|
|
Как вы можете определить, какие точки лежат на определенной кривой? И сколько возможных кривых вы насчитали за заданное количество точек? Именно эти вопросы изучал Пим Спелиер из Математического института в ходе своего докторского исследования. 12 июня Спелиер получил докторскую степень с отличием.
|
|
|
|
Подсчитывая кривые, что это значит в обычный день? "Я много сижу и смотрю", - отвечает Спелиер. "Когда меня спрашивают, чем именно я занимаюсь, я не всегда могу с легкостью ответить. Обычно я привожу пример о частице, путешествующей во времени".
|
|
Все возможные изгибы
|
|
|
|
Представьте, что частица движется в пространстве, а вы следуете по пути, который она совершает во времени. Этот путь представляет собой кривую, геометрический объект. Сколько возможных путей может пройти частица, если предположить определенные свойства? Например, прямая линия может проходить только через две точки в одну сторону. Но сколько траекторий возможно для частицы, если мы рассмотрим более сложные кривые? И как вы это изучаете?
|
|
|
|
Рассматривая все возможные кривые одновременно. Например, все возможные направления из данной точки образуют друг с другом окружность, и это называется пространством модулей. И эта окружность сама по себе является геометрическим объектом.
|
|
|
Математическое волшебство может произойти, потому что этот набор всех кривых сам по себе обладает геометрическими свойствами, говорит Спелиер, к которым вы можете применить геометрические приемы. Далее, вы можете значительно усложнить задачу, используя еще более сложные кривые и пространства. Таким образом, можно считать не в трех, а, например, в одиннадцати измерениях.
|
|
|
|
Спелиер пытается найти закономерности, которые всегда применимы к кривым, которые он изучает. Его подход? Разбиение сложных пространств на маленькие простые промежутки. Вы также можете разбить кривые на частичные кривые. Таким образом, вам будет проще подсчитывать промежутки. Но кривые иногда приобретают сложные свойства, потому что вы должны уметь склеивать их обратно.
|
|
|
|
Спелиер говорит: "Цель состоит в том, чтобы найти достаточно принципов для точного определения количества кривых".
|
|
Ищем доказательства наличия точек на кривых
|
|
|
|
Помимо кривых, Спелиер также подсчитывал точки на кривых. Он изучал вопрос: сколько решений имеет данное математическое уравнение?
|
|
|
|
Это уравнения, которые немного сложнее, чем a2 + b2 = c2 из теоремы Пифагора. В этом уравнении речь идет о длинах сторон прямоугольного треугольника. Если вы замените квадраты на квадраты с более высокими степенями, найти решения будет сложнее. Спеллер изучал решения в целых числах, например, 32 + 42 = 52.
|
|
|
|
Между тем, существует метод, позволяющий найти эти решения. Профессор математики Бас Эдиксховен, скончавшийся в 2022 году, и его аспирант Гвидо Лидо разработали альтернативный подход к той же задаче. Но до сих пор оставалось неясным, в какой степени эти два метода совпадают, а в какой отличаются друг от друга. В ходе своего докторского исследования Спилер разработал алгоритм для проверки этого.
|
|
Первый человек, получивший ответ
|
|
|
|
Разработка этого алгоритма необходима для реализации метода. Если вы хотите сделать это вручную, вы получите множество страниц уравнений. Метод Эдиксховена использует алгебраическую геометрию. С помощью хитроумных геометрических трюков вы можете точно рассчитать все количество точек на заданной кривой. Спелиер доказал, что метод Эдиксховена-Лидо лучше старого.
|
|
|
|
Дэвид Холмс, профессор чистой математики и научный руководитель Spelier, высоко оценивает предоставленное доказательство. "Когда вы первый, кто отвечает на вопрос, на который все в нашем сообществе хотят получить ответ, это очень впечатляет. Pim доказывает, что эти два метода нахождения рациональных точек схожи, и этот вопрос действительно занимал математиков".
|
|
Занимаемся математикой вместе
|
|
|
|
Лучшая часть его докторской диссертации - встречи со своим научным руководителем. После первого года обучения и для Спелиера, и для Холмса это было скорее сотрудничество, чем наблюдение. Спелиер говорит: "Заниматься математикой вместе по-прежнему веселее, чем в одиночку".
|
|
|
|
Спилер приступает к работе в сентябре в качестве постдока в Утрехте и, по-видимому, еще не закончил со счетом. После подсчета точек и кривых он вскоре приступит к подсчету поверхностей.
|
|
|
|
Источник
|
