|
Скрытый порядок в многомерной случайности
|
|
|
|
Три математика представили доказательство, которое решает давнюю математическую проблему. Даже математик, лауреат премии Абеля, который первым поставил эту проблему, не верил, что она когда—нибудь будет решена. Это решение позволяет получить представление о многомерных случайных структурах, которые потенциально могут повлиять на обработку данных, машинное обучение и оптимизацию.
|
|
Гипотеза Талагранда о выпуклости
|
|
|
|
В 1995 году Мишель Талагранд предложил свою знаменитую математическую задачу, в которой спрашивалось, можно ли "создать" выпуклость за фиксированное, равномерное число шагов (используя операции, называемые суммами Минковского) в любом количестве измерений. В математике выпуклость означает, что фигура или функция изгибается наружу, не оставляя зазоров или вмятин внутрь. Таким образом, любая линия, проведенная из двух точек по периметру или внутри фигуры, должна полностью находиться внутри нее. Например, круг или квадрат в двух измерениях, сфера или куб в трех измерениях будут считаться выпуклыми.
|
|
|
|
Простая регистрация помогает независимой научной журналистике оставаться на виду. Регистрация Phys.org в Google.
|
|
|
|
Гипотеза Талагранда о выпуклости требует сумм Минковского - математических операций, которые объединяют два набора точек или геометрических фигур путем добавления каждой отдельной точки из первого набора к каждой точке из второго набора. Все это усложняется по мере увеличения числа измерений. Некоторые называют эту проблему "проклятием размерности", из-за которого геометрическая сложность и время вычисления результирующих фигур возрастают в геометрической прогрессии.
|
|
|
|
|
|
|
Сам Талагранд не считал гипотезу о выпуклости разрешимой и предложил 2000 долларов любому, кто сможет предложить доказательство. Он сказал в интервью изданию Scientific American: "Я высказал это смелое предположение, на самом деле, без каких—либо оснований, вы знаете - это просто предположение наугад. Когда вы говорите что-то подобное, вы чувствуете, что это не может быть правдой".
|
|
|
|
Талагранд первоначально показал в своей статье 1995 года, что двух дополнений Минковского недостаточно, чтобы гарантировать создание большого выпуклого подмножества. В 2025 году другой математик доказал, что замена суммы Минковского выпуклыми операциями делает эту более строгую версию задачи о выпуклости ложной. Но это все равно не решило более общую версию Талагранда.
|
|
Поиск доказательства в теории вероятностей
|
|
|
|
Новое доказательство было разработано Донгмингом Хуа и Антуаном Сонгом из Калифорнийского технологического института, а также Стефаном Тудозе из Принстонского университета, которые присоединились к другим авторам, услышав об их работе. Вместе математики переформулировали геометрическую гипотезу Талагранда в проблему теории вероятностей и случайных векторов. В своей статье, опубликованной на сервере препринтов arXiv, они доказали эквивалентную гипотезу о вероятности, показав, что любой 1-субгауссовский случайный вектор в n измерениях может быть выражен как сумма трех стандартных гауссовских случайных векторов.
|
|
|
|
Этот результат решает проблему выпуклости Талагранда, доказывая, что для любого достаточно большого множества в гауссовом пространстве выпуклый набор значимых показателей может быть найден внутри тройной суммы исходного множества. Решение также подтверждает комбинаторный аналог задачи, что важно для дискретной математики.
|
|
|
|
Первоначально, по словам Сонга и Хуа, они пытались найти решение с помощью ChatGPT. Однако, хотя магистр права помог ответить на некоторые из их вопросов и приблизил их к решению, окончательное доказательство предоставил Тудосе. В конечном счете, команда не использовала работу, проделанную с помощью ChatGPT. В своей статье команда пишет, что доказательство Тудосе было "более общим и концептуальным".
|
|
|
|
Решение этой математической загадки, которой уже несколько десятилетий, соединяет геометрию, теорию вероятностей и комбинаторику и открывает удивительные связи между непрерывным и дискретным мирами. Хотя подобные математические задачи могут показаться непонятными, многие технологии, используемые в нашей повседневной жизни, основаны на сложных математических инструментах и алгоритмах. Решение гипотезы Талагранда может повлиять на науку о данных, машинное обучение и такие вещи, как оптимизация логистики, где распространены аналогичные модели, включающие сложную случайность.
|
|
|
|
Источник
|
